Вопрос. Переехал с одного района в другой. Сколько времени положено чтобы выписаться и прописаться автоматически?

Ответ. «Автоматически» выписаться и прописаться у Вас не получится.
Закон РФ от 25.06.1993 г. № 5242–1 «О праве граждан РФ на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах РФ» в ст. 6 обязывает гражданина РФ, изменившего место жительства, не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностному лицу, ответственному за регистрацию, с заявлением по установленной форме, паспортом, документом, подтверждающим право этого гражданина на вселение в жилое помещение (ордер, договор, заявление другого гражданина, представившего жилое помещение, или иной документ).
Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов (подачи им заявления и документов в форме электронных документов) на регистрацию.
Согласно ст. 7 данного закона, снятие гражданина Российской Федерации с регистрационного учета по месту жительства производится органом регистрационного учета в случае изменения его места жительства — на основании заявления гражданина в письменной форме или в форме электронного документа о регистрации по новому месту жительства.